Todennäköisyyspelien esimerkkejä: 13 luokkahuoneaktiviteettia oikean matematiikan opettamiseksi

Heitä noppaa, heitä kolikkoa, pyöräytä kiekkoa, niin jotain hyödyllistä tapahtuu: abstrakti idea, kuten ”yksi kuudesta”, muuttuu joksikin, jonka oppilaat voivat nähdä, josta he voivat väitellä ja jota he voivat mitata. Siksi todennäköisyys on yksi matematiikan opetussuunnitelman ystävällisimmistä nurkista käytännön opetukselle. Aktiivisten tehtävien ympärille rakennetuilla luokilla opiskelevat oppilaat suoriutuvat paremmin kuin pelkkiin luentoihin osallistuvat oppilaat, ja eräässä 225 tutkimuksen analyysissä havaittiin, että perinteisten luentojen oppilailla oli 1.5 kertaa suurempi todennäköisyys epäonnistua kuin aktiiviopetuksessa olevilla luokkahuoneilla opiskelevilla (Freeman et al., 2014).

Alla olevat pelit ovat kasinoiltalista, joka on kirjoitettu uudelleen luokkahuonetta varten. Jokainen peli mainitsee opettamansa todennäköisyyskäsitteen, oppimistavoitteen, karkean arvosteluasteikon ja sen, miten sitä käytetään tunnilla. Kukaan ei lyö vetoa rahasta. Palkintona on ymmärrys.

Näiden pelien opettamat todennäköisyyskäsitteet

Ennen kisoja, tässä on kartta. Useimmat toissijaiset todennäköisyysstandardit tiivistyvät muutamaan suureen ideaan:

• Näytetila: listaamalla kaikki mahdolliset lopputulokset.
• Teoreettinen vs. kokeellinen todennäköisyys: Mitä pitäisi tapahtua paperilla vs. mitä tapahtuu, kun kokeilet sitä.
• Riippumattomat vs. riippuvat tapahtumat: muuttaako yksi tulos seuraavan todennäköisyyksiä.
• Odotusarvo: keskimääräinen tulos useiden kokeiden jälkeen ja älykkään päätöksen perusta.
• Reiluus, yhdistelmät ja permutaatiot: onko jokainen lopputulos yhtä todennäköinen ja miten lasketaan, millä tavoin tapahtuma voi tapahtua.

Jokainen peli on merkitty sen kohteena olevalla idealla, joten voit sijoittaa sen oikeaan oppituntiin.

Lämmittelykokeet: teoreettinen vs. kokeellinen todennäköisyys

1. Kolikonheittopino

Käsite: teoreettinen vs. kokeellinen todennäköisyys, suurten lukujen laki. Luokat 5-8. Jokainen oppilas heittää kolikkoa 20 kertaa ja kirjaa kruunan tulokset muistiin. Yksilölliset tulokset ovat sekavia: yksi oppilas saa 13 kruunaa, toinen 7. Sitten koko luokan tulokset yhdistetään. Kun heittojen määrä nousee satoihin, kruunien yhteenlaskettu osuus vakiintuu lähelle 50 %. Tavoite: oppilaat ymmärtävät, että pieni otos voi näyttää epätasaiselta, kun taas pitkän aikavälin todennäköisyys vastaa teoreettista todennäköisyyttä.

2. Kahden nopan summan näyttö

Käsite: otosavaruus, todennäköisyysjakaumat. Luokat 6-9. Kysy, kumpi summa on todennäköisin, kun heität kahta noppaa: 2, 7 tai 12. Useimmat oppilaat arvaavat väärin. Pyydä heitä heittämään kahta noppaa 30 kertaa, laskemaan summat ja piirtämään sitten luokan pylväsdiagrammi. Seitsemän voittaa, koska sillä on kuusi tapaa tapahtua (1+6, 2+5, 3+4 ja niiden käänteiset) 36 tuloksesta, kun taas 2 ja 12 ovat vain yksi kummassakin. Tavoite: yhdistää lueteltu otosavaruus reaalilukujakaumaan.

3. Jaa pisteet: pinkki on kaksi kertaa todennäköisempi

Käsite: murtoluvut ja prosenttiluvut, kokonaisuuden osat. Luokat 4–5. Tässä iässä oppilaat alkavat vasta ymmärtää, että 100 edustaa kokonaisuutta (100 %), ja he oppivat murtolukujen perusasioita, joten pidä tehtävä yksinkertaisena ja matalan panoksen omaavana. Aseta selkeä sääntö, kuten "Vaaleanpunaisen pitäisi olla kaksi kertaa todennäköisempi kuin vihreän, ja oranssilla ja mustalla pitäisi olla yhtäläiset mahdollisuudet", ja pyydä jokaista oppilasta jakamaan 100 pistettä neljän värin kesken siten, että heidän jakonsa täyttää sen. Mitään pisteytystä ei tehdä, eikä ole olemassa yhtä oikeaa vastausta, joten oppilaat voivat kokeilla vapaasti sen sijaan, että he jähmettyvät arvaamaan väärin. Tavoite: muuttaa abstrakti suhdeluku konkreettiseksi kokonaisuuden prosenttiosuudeksi ja tarkistaa päättely katsomalla, onko jokaisen oppilaan jako todella 100 ja vastaako se ilmoitettua suhdetta.

AhaSlidesin Split the Points -dia antaa opettajan asettaa neljä luokkaa ja 100 pisteen poolin; jokainen opiskelija lähettää oman osuutensa, ja tulokset rakentuvat reaaliaikaisesti ympyrädiagrammina, jotta luokka voi välittömästi verrata osuuksia ilmoitettuun sääntöön ja keskustella siitä, kuka pääsi lähimmäksi ja miksi.

4. Pyöräytä kiekkoa: reilu vs. epäreilu

Käsite: oikeudenmukaiset vs. epäreilut tulokset, murtoluvut ja suhdeluvut. Luokat 4–7. Aloita kiekolla, joka on jaettu samanvärisiin osiin, ja vaihda sitten sellaiseen, jossa yksi väri peittää puolet. Oppilaat ennustavat, pyöräyttävät useita kertoja ja vertailevat. Tavoite: ilmaise todennäköisyys kokonaisuuden murto-osana ja tunne ero yhtäläisen mahdollisuuden ja painotetun kiekon välillä.

Nappaa ilmainen todennäköisyyspyörän mallipohja ja pelaa juuri tätä opettaja vastaan ​​luokka -peliä, jossa kertoimet on jo sisäänrakennettu jokaiseen kierrokseen.

5. Kortin nostot: korvaavalla ja korvaamattomalla kortilla

Käsite: riippumattomat vs. riippuvat tapahtumat, ehdollinen todennäköisyys. Luokat 8-10. Nosta kortti, kirjaa se muistiin ja kysy, mikä on ässän mahdollisuus seuraavalla nostolla. Tee tämä kahdesti: kerran laita kortti takaisin ja kerran jätä se pois. Korvattaessa kortti on todennäköisyys aina 4/52 (riippumaton). Ilman korttia pakka pienenee ja todennäköisyys muuttuu (riippuva). Nopea Uno-kierros tekee saman asian: kun kortit poistuvat pinosta, jäljelle jäävä nostettava määrä muuttuu. Tavoite: erottaa riippumattomat ja riippuvaiset tapahtumat.

Todennäköisyyspulmia, jotka herättävät keskustelua

6. Monty Hallin ongelma

Käsite: ehdollinen todennäköisyys. Luokat 9-12. Kolme ovea, yksi palkinto. Oppilas valitsee oven, sinä paljastat kahden muun joukosta häviävän oven ja tarjoat sitten vaihtoa. Pitäisikö heidän hyväksyä se? Vaihtaminen voittaa kahdesti kolmesta, mitä melkein kukaan ei usko, ennen kuin luokka simuloi sitä 30 kertaa ja se lasketaan. Tavoite: osoittaa, että uusi tieto päivittää todennäköisyyttä ja että intuitio voi johtaa harhaan.

7. Ahne sika

Käsite: odotusarvo, päätöksenteko riskin alaisena. Luokat 6-9. Koko luokka seisoo. Heität yhden noppaa ja kaikki keräävät pistemäärän, mutta jos heität yhden noppaa, kaikki jäljellä olevat menettävät kierroksen pisteensä. Pelaajat istuvat alas, kun he haluavat siirtää joukkonsa pankkiinsa. Laskelma: yksi heitto lisää kannattaa, kunnes pankkiinsa jäävä pistemäärä ylittää noin 20, jolloin odotusarvo muuttuu negatiiviseksi. Tavoite: käyttää odotusarvoa todellisen päätöksenteon ohjaamiseen.

8. Onko tämä peli reilu?

Käsite: oikeudenmukaisuus, todennäköisyyksien vertailu. Luokat 7–10. Anna pareille sääntö, kuten ”Pelaaja A saa voiton, jos kahden nopan summa on parillinen, pelaaja B, jos se on pariton” tai ”A voittaa, jos tulo on yli 12”. Oppilaat pelaavat, epäilevät epätasapainoa ja todistavat sen sitten näyteavaruuden avulla. Tavoite: arvioi oikeudenmukaisuutta todisteiden, ei mututuntuman, avulla ja suunnittele sitten epäoikeudenmukainen sääntö uudelleen tasapainottaaksesi sitä.

9. Syntymäpäiväparadoksi

Käsite: komplementtitodennäköisyys, yhdistelmät. Luokat 9–12. Kysy itseltäsi, kuinka monta ihmistä tarvitaan ennen kuin todennäköisempää on, että kahdella on sama syntymäpäivä. Vastaus, 23, yllättää useimmat luokat. Tarkista sitten oma luokkasi: 30 oppilaan tapauksessa todennäköisyys on noin 70 %. Temppu on laskea, miten syntymäpäivät voivat erota toisistaan, ja vähentää niistä yksi. Tavoite: käyttää komplementtilaskentaa yllättävän tuloksen saavuttamiseksi.

Klassisia pelejä, luettuna uudelleen todennäköisyyslaskennan oppitunteina

10. Yahtzee

Käsite: yhdistelmät, tiettyjen tulosten todennäköisyys. Luokat 6-9. Hauskuuden lisäksi Yahtzee on todennäköisyyskone. Mikä on todennäköisyys saada kolmoset ensimmäisellä heitolla? Pitäisikö pelaajan pitää kaksi paria vai jahdata suoraa? Tavoite: arvioida tavoitetulosten todennäköisyydet ja käyttää niitä valintojen tekemiseen.

11. Monopoli, todennäköisyysversio

Käsite: sovelletut jakaumat. Luokat 7–10. Koska liikut kahden nopan summan perusteella, jotkut ruudut osuvat paljon useammin kuin toiset, ja vankilasta poistuminen vetää liikennettä oransseihin ja punaisiin ruutuihin. Pyydä oppilaita ennustamaan kuumat ruudut ja laskemaan sitten osumien määrä pelin aikana. Tavoite: soveltaa kahden nopan jakaumaa tuttuun pelilautaan.

12. Bingo

Käsite: satunnaiset arvonnat ilman takaisinpanoa, suhdeluvut. Luokat 4-7. Kun numeroita arvotaan eikä palauteta, todennäköisyys, että seuraava huuto auttaa korttiasi, muuttuu joka kerta. Pyydä oppilaita arvioimaan todennäköisyytensä sille, että rivi on sama ennen ja jälkeen 10 numeron ulkonemisen. Tavoite: perustella yhtä todennäköisten arvonnattömien numeroiden määrän pienenemistä.

13. Kivi-paperi-sakset

Käsite: yhtä todennäköiset tulokset, toisistaan ​​riippumattomat tapahtumat. Luokat 5-8. Satunnaispelissä jokaisella heitolla on yksi kolmesta mahdollisuus, ja kierrokset ovat toisistaan ​​riippumattomia: eilisen voitto ei kerro mitään tämän päivän voitosta. Se on myös loiva ovi peliteoriaan: onko olemassa voittavaa strategiaa todella satunnaista vastustajaa vastaan? Tavoite: tunnistaa yhtä todennäköiset, toisistaan ​​riippumattomat tulokset.

Suorita nämä livenä AhaSlidesin avulla

Kaksi osaa näistä toiminnoista tehdään siististi käsin: satunnaisuuden luominen ja kaikkien tulosten yhdistäminen riittävän nopeasti niistä keskustelemiseksi. AhaSlides hoitaa molemmat huoneen etuosasta.

1. Spinner-pyörä suorittaa satunnaiset arvonnat valitsemalla oppilaan, numeron tai värin, jotta pyöräytys on koko luokan näkyvissä ja todistettavasti manipuloimaton.
2. Live-kyselyt Kerää kokeellista dataa sekunneissa. Jokainen opiskelija lähettää päiden laskun tai noppien summan, pylväsdiagrammi muodostuu reaaliajassa ja luokka vertaa kokeellista tulosta teoreettiseen ennusteeseen paikan päällä.
3. Tietovisadiat Muunna käsitteet pisteytetyksi kierrokseksi, kuten "Mikä on todennäköisyys saada 7?", ja käytä tulostaulukkoa, joka pitää oikeudenmukaisuus- tai odotusarvokeskustelun vilkkaana.

Koska vastaukset tallennetaan ja kartoitetaan automaattisesti, oppitunti käytetään päättelyyn laskemisen sijaan, ja yhdistetty luokkadata on juuri se, mikä saa suurten lukujen lain pätemään.

Yhdistäminen

Todennäköisyyslaskennan opettaminen on helpointa silloin, kun oppilaat voivat seurata sen tapahtumista. Valitse kaksi tai kolme tällaista peliä yksikköä kohden: yksi lämmittelykoe, yksi intuitiota rikkova pulmapeli ja yksi tuttu peli, jossa luetaan matematiikka uudelleen. Nimeä käsite joka kerta, kerää oikeaa dataa ja anna teorian ja kokeen välisen kuilun opettaa.

Viitteet

Freeman, S., Eddy, SL, McDonough, M., Smith, MK, Okoroafor, N., Jordt, H., & Wenderoth, MP (2014). Aktiivinen oppiminen parantaa oppilaiden suoriutumista luonnontieteissä, insinööritieteissä ja matematiikassa. Proceedings of the National Academy of Sciences, 111(23), 8410-8415. https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1319030111