การทอยลูกเต๋า การโยนเหรียญ การหมุนวงล้อ ล้วนก่อให้เกิดสิ่งที่มีประโยชน์: แนวคิดนามธรรมอย่างเช่น “หนึ่งในหก” กลายเป็นสิ่งที่นักเรียนสามารถมองเห็น โต้แย้ง และวัดผลได้ นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมความน่าจะเป็นจึงเป็นหนึ่งในส่วนของหลักสูตรคณิตศาสตร์ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการสอนแบบลงมือปฏิบัติ นักเรียนในชั้นเรียนที่เน้นการทำกิจกรรมจะมีผลการเรียนดีกว่านักเรียนที่เรียนแบบบรรยายเพียงอย่างเดียว และจากการวิเคราะห์งานวิจัย 225 ชิ้น พบว่านักเรียนที่เรียนแบบบรรยายแบบดั้งเดิมมีโอกาสสอบตกมากกว่านักเรียนที่เรียนในห้องเรียนแบบลงมือปฏิบัติถึง 1.5 เท่า (Freeman et al., 2014)
เกมด้านล่างนี้คือรายการเกมคาสิโนที่เขียนใหม่สำหรับใช้ในห้องเรียน แต่ละเกมจะระบุแนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นที่สอน วัตถุประสงค์การเรียนรู้ ระดับคะแนนโดยประมาณ และวิธีการนำไปใช้ในบทเรียน ไม่มีใครเดิมพันเงิน ผลตอบแทนคือความเข้าใจ
แนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นที่เกมเหล่านี้สอน
ก่อนเริ่มเกม นี่คือแผนที่ มาตรฐานความน่าจะเป็นรองส่วนใหญ่สรุปได้เป็นแนวคิดหลักเพียงไม่กี่ข้อ:
- พื้นที่ตัวอย่าง: ระบุผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
- ความน่าจะเป็นเชิงทฤษฎีเทียบกับความน่าจะเป็นเชิงทดลอง: สิ่งที่ควรเกิดขึ้นตามทฤษฎี กับ สิ่งที่เกิดขึ้นจริงเมื่อลองทำดู
- เหตุการณ์อิสระเทียบกับเหตุการณ์ขึ้นอยู่กัน: ไม่ว่าผลลัพธ์หนึ่งจะเปลี่ยนแปลงโอกาสของผลลัพธ์ถัดไปหรือไม่
- ค่าที่คาดหวัง: ผลลัพธ์เฉลี่ยจากการทดลองหลายครั้ง และเป็นพื้นฐานของการตัดสินใจอย่างชาญฉลาด
- ความเป็นธรรม การจัดกลุ่ม และการเรียงสับเปลี่ยน: ไม่ว่าผลลัพธ์ทุกอย่างจะมีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากันหรือไม่ และจะนับจำนวนวิธีที่เหตุการณ์หนึ่งๆ สามารถเกิดขึ้นได้อย่างไร
แต่ละเกมจะมีป้ายกำกับระบุแนวคิดที่เกมนั้นมุ่งเป้าหมายไว้ เพื่อให้คุณสามารถนำไปใช้ในบทเรียนที่เหมาะสมได้
การทดลองเตรียมความพร้อม: ความน่าจะเป็นเชิงทฤษฎีเทียบกับความน่าจะเป็นเชิงทดลอง
1. การกองซ้อนจากการโยนเหรียญ
แนวคิด:ความน่าจะเป็นเชิงทฤษฎีเทียบกับความน่าจะเป็นเชิงทดลอง กฎของจำนวนมากระดับชั้น ป.5-ม. 8 นักเรียนแต่ละคนโยนเหรียญ 20 ครั้งและบันทึกจำนวนครั้งที่ได้หัว ผลลัพธ์ของแต่ละคนอาจแตกต่างกันไป เช่น นักเรียนคนหนึ่งได้หัว 13 ครั้ง อีกคนได้ 7 ครั้ง จากนั้นจึงนำผลรวมของทั้งชั้นมารวมกัน เมื่อจำนวนครั้งที่โยนเหรียญเพิ่มขึ้นเป็นหลายร้อยครั้ง สัดส่วนรวมของจำนวนครั้งที่ได้หัวจะเข้าใกล้ 50% วัตถุประสงค์: เพื่อให้นักเรียนเห็นว่าตัวอย่างขนาดเล็กอาจดูไม่สมดุล ในขณะที่อัตราในระยะยาวจะตรงกับความน่าจะเป็นเชิงทฤษฎี
2. การดวลผลรวมลูกเต๋า 2 ลูก
แนวคิด:ปริภูมิของตัวอย่าง, การแจกแจงความน่าจะเป็นระดับชั้น 6-3ถามว่าผลรวมใดมีโอกาสเกิดขึ้นมากที่สุดเมื่อทอยลูกเต๋า 2 ลูก: 2, 7 หรือ 12 นักเรียนส่วนใหญ่เดาผิด ให้พวกเขาทอยลูกเต๋า 2 ลูก 30 ครั้ง นับผลรวม แล้วสร้างแผนภูมิแท่งของชั้นเรียน ผลรวม 7 ชนะเพราะมีโอกาสเกิดขึ้น 6 วิธี (1+6, 2+5, 3+4 และผลลัพธ์กลับกัน) จากผลลัพธ์ทั้งหมด 36 แบบ ในขณะที่ 2 และ 12 มีโอกาสเกิดขึ้นเพียงวิธีเดียวเท่านั้น วัตถุประสงค์: เชื่อมโยงปริภูมิของตัวอย่างที่ระบุไว้กับการแจกแจงความน่าจะเป็นจริง
3. แบ่งคะแนน: สีชมพูมีโอกาสเป็นสองเท่า
แนวคิด:เศษส่วนและเปอร์เซ็นต์ ส่วนประกอบของทั้งหมดระดับชั้น ป.4-5ในวัยนี้ นักเรียนเพิ่งเริ่มเข้าใจว่า 100 แทนทั้งหมด (100%) และกำลังเรียนรู้เศษส่วนพื้นฐาน ดังนั้นควรใช้คำพูดที่เข้าใจง่ายและไม่กดดัน ตั้งกฎง่ายๆ เช่น "สีชมพูควรมีโอกาสเป็นสองเท่าของสีเขียว และสีส้มกับสีดำควรมีโอกาสเท่ากัน" และให้นักเรียนแต่ละคนแบ่งคะแนน 100 คะแนนออกเป็นสี่สี โดยให้สัดส่วนที่แบ่งนั้นตรงกับกฎ ไม่มีการให้คะแนนและไม่มีคำตอบที่ถูกต้องเพียงคำตอบเดียว ดังนั้นนักเรียนสามารถทดลองได้อย่างอิสระแทนที่จะกังวลกับการเดาผิด วัตถุประสงค์: เปลี่ยนอัตราส่วนนามธรรมให้เป็นเปอร์เซ็นต์ที่เป็นรูปธรรมของทั้งหมด และตรวจสอบเหตุผลโดยดูว่าสัดส่วนที่นักเรียนแต่ละคนแบ่งนั้นรวมกันได้ 100 และตรงกับความสัมพันธ์ที่ระบุไว้หรือไม่
สไลด์ "Split the Points" ของ AhaSlides ช่วยให้ครูสามารถตั้งค่าหมวดหมู่ทั้งสี่และคะแนนรวม 100 คะแนนได้ นักเรียนแต่ละคนส่งการแบ่งคะแนนของตนเอง และผลลัพธ์จะแสดงผลแบบเรียลไทม์ในรูปแบบแผนภูมิวงกลม ทำให้ชั้นเรียนสามารถเปรียบเทียบการแบ่งคะแนนกับกฎที่กำหนดไว้ได้ทันที และพูดคุยกันว่าใครได้คะแนนใกล้เคียงที่สุดและเพราะเหตุใด
4. หมุนวงล้อ: ยุติธรรมหรือไม่ยุติธรรม
แนวคิด:ผลลัพธ์ที่ยุติธรรมและไม่ยุติธรรม เศษส่วน และอัตราส่วน ระดับชั้น ป. 4-ม.7เริ่มต้นด้วยวงล้อที่แบ่งออกเป็นส่วนสีเท่าๆ กัน จากนั้นเปลี่ยนไปใช้วงล้อที่สีเดียว占据ครึ่งหนึ่ง นักเรียนคาดเดา หมุนหลายๆ ครั้ง และเปรียบเทียบ วัตถุประสงค์: แสดงความน่าจะเป็นในรูปเศษส่วนของทั้งหมด และรู้สึกถึงความแตกต่างระหว่างวงล้อที่มีโอกาสเท่ากันกับวงล้อที่มีโอกาสมากกว่า
ดาวน์โหลดเทมเพลตวงล้อหมุนความน่าจะเป็นฟรีเพื่อเล่นเกมนี้แบบเดียวกัน คือ ครูแข่งกับนักเรียน โดยมีอัตราต่อรองกำหนดไว้แล้วในแต่ละรอบ
5. การจั่วไพ่: แบบมีและไม่มีการคืนไพ่
แนวคิด:เหตุการณ์อิสระและเหตุการณ์ขึ้นอยู่กัน, ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขระดับชั้น ม.8-ม.10จั่วไพ่หนึ่งใบ จดบันทึก แล้วถามถึงโอกาสที่จะได้เอซในการจั่วครั้งต่อไป ทำซ้ำสองครั้ง: ครั้งแรกโดยใส่ไพ่กลับเข้าไปในกอง ครั้งที่สองโดยไม่ได้ใส่ไพ่กลับเข้าไป เมื่อใส่ไพ่กลับเข้าไป โอกาสจะยังคงเป็น 4/52 ทุกครั้ง (เหตุการณ์อิสระ) แต่ถ้าไม่ใส่ไพ่กลับเข้าไป สำรับไพ่จะลดลงและโอกาสจะเปลี่ยนไป (เหตุการณ์ขึ้นอยู่กัน) การเล่นเกมอูโน่สักรอบก็แสดงให้เห็นประเด็นเดียวกัน: เมื่อไพ่ออกจากกองไปแล้ว จำนวนไพ่ที่เหลือให้จั่วก็จะเปลี่ยนไป วัตถุประสงค์: แยกแยะความแตกต่างระหว่างเหตุการณ์อิสระและเหตุการณ์ขึ้นอยู่กัน
ปริศนาความน่าจะเป็นที่จุดประกายการอภิปราย
6. ปัญหาของมอนตี้ ฮอลล์
แนวคิด:ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ระดับชั้น ม. ปลาย-ม.6สามประตู หนึ่งรางวัล นักเรียนเลือกประตูหนึ่งบาน คุณเปิดเผยประตูที่แพ้จากอีกสองบาน แล้วเสนอให้เปลี่ยนประตู นักเรียนควรเลือกเปลี่ยนหรือไม่? การเปลี่ยนประตูมีโอกาสชนะสองในสามครั้ง ซึ่งแทบไม่มีใครเชื่อจนกระทั่งชั้นเรียนจำลองสถานการณ์นี้ 30 ครั้งและนับจำนวนครั้ง วัตถุประสงค์: แสดงให้เห็นว่าข้อมูลใหม่จะปรับปรุงความน่าจะเป็น และสัญชาตญาณอาจทำให้เข้าใจผิดได้
7. หมูตะกละ
แนวคิด:ค่าที่คาดหวัง การตัดสินใจภายใต้ความเสี่ยง ระดับชั้น ม. 1-ม.6นักเรียนทั้งห้องยืนขึ้น คุณทอยลูกเต๋าหนึ่งลูกและทุกคนสะสมคะแนน แต่ถ้าทอยได้เลข 9 ใครก็ตามที่ยังยืนอยู่จะเสียคะแนนในรอบนั้น ผู้เล่นนั่งลงเมื่อต้องการเก็บคะแนนที่ได้มา การคำนวณ: การทอยลูกเต๋าอีกครั้งหนึ่งจะคุ้มค่าจนกว่าคะแนนที่ยังไม่ได้เก็บจะเกินประมาณ 20 ซึ่งหลังจากนั้นผลตอบแทนที่คาดหวังจะติดลบ วัตถุประสงค์: ใช้ค่าที่คาดหวังเป็นแนวทางในการตัดสินใจในสถานการณ์จริง
8. เกมนี้ยุติธรรมหรือไม่?
แนวคิด:ความยุติธรรม การเปรียบเทียบความน่าจะเป็นระดับชั้น ม.1-ม.4กำหนดกฎให้คู่ผู้เล่น เช่น “ผู้เล่น A ได้คะแนนถ้าผลรวมของลูกเต๋า 2 ลูกเป็นเลขคู่ ผู้เล่น B ได้คะแนนถ้าผลรวมเป็นเลขคี่” หรือ “A ชนะเมื่อผลรวมมากกว่า 12” นักเรียนเล่น แล้วสงสัยว่ามีความไม่สมดุล จากนั้นพิสูจน์ด้วยปริภูมิของตัวอย่าง วัตถุประสงค์: ตัดสินความยุติธรรมด้วยหลักฐาน ไม่ใช่ความรู้สึก แล้วออกแบบกฎที่ไม่ยุติธรรมใหม่เพื่อให้เกิดความสมดุล
9. ปรากฏการณ์ความขัดแย้งเรื่องวันเกิด
แนวคิด:ความน่าจะเป็นแบบเสริม, การจัดหมู่ระดับชั้น ม.ปลาย-ม.6ลองถามดูว่าต้องมีคนกี่คนถึงจะมีโอกาสที่คนสองคนจะมีวันเกิดเดียวกันมากกว่าไม่มี คำตอบคือ 23 ซึ่งทำให้หลายห้องเรียนประหลาดใจ จากนั้นลองตรวจสอบห้องเรียนของคุณเอง: ถ้ามีนักเรียน 30 คน โอกาสจะอยู่ที่ประมาณ 70% เคล็ดลับคือการนับวิธีที่วันเกิดทั้งหมดแตกต่างกัน และลบออกจาก 1 วัตถุประสงค์: ใช้การนับแบบเสริมเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่น่าประหลาดใจ
เกมคลาสสิก เมื่อนำมาอ่านใหม่ในฐานะบทเรียนเกี่ยวกับความน่าจะเป็น
10. ยัทซี
แนวคิด:การจัดกลุ่ม ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์เฉพาะระดับชั้น 6-9นอกจากความสนุกแล้ว ยาห์ทซีเป็นเครื่องมือฝึกทักษะความน่าจะเป็น โอกาสที่จะทอยได้ไพ่สามใบเหมือนกันในการทอยครั้งแรกมีเท่าไร? ผู้เล่นควรเก็บไพ่สองคู่ไว้หรือพยายามทอยให้ได้ไพ่เรียง? วัตถุประสงค์: ประมาณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์เป้าหมายและนำมาใช้ในการตัดสินใจ
11. โมโนโพลี เวอร์ชันความน่าจะเป็น
แนวคิด:การประยุกต์ใช้การแจกแจงความน่าจะเป็น ระดับชั้น ม. 1-ม.4เนื่องจากการเดินขึ้นอยู่กับผลรวมของลูกเต๋า 2 ลูก ทำให้บางช่องมีโอกาสถูกเหยียบมากกว่าช่องอื่นๆ และการออกจากคุกจะดึงดูดให้คนไปเหยียบช่องสีส้มและสีแดงมากขึ้น ให้นักเรียนคาดเดาช่องที่มีโอกาสถูกเหยียบมากที่สุด จากนั้นนับจำนวนครั้งที่ลงจอดตลอดทั้งเกม วัตถุประสงค์: ประยุกต์ใช้การแจกแจงความน่าจะเป็นของลูกเต๋า 2 ลูกกับกระดานเกมที่คุ้นเคย
12 การเล่นชนิดหนึ่ง
แนวคิด:การสุ่มจับโดยไม่ใส่คืน อัตราส่วน ระดับชั้น ป.4-ม.7เนื่องจากหมายเลขที่ถูกจับออกมาแล้วไม่ได้ถูกส่งคืน โอกาสที่การเรียกครั้งต่อไปจะช่วยหมายเลขในไพ่ของคุณจะเปลี่ยนแปลงไปทุกครั้ง ขอให้นักเรียนประเมินโอกาสที่จะได้หมายเลขนั้นก่อนและหลังหมายเลขถูกจับออกมาครบ 10 หมายเลข วัตถุประสงค์: การให้เหตุผลเกี่ยวกับกลุ่มหมายเลขที่มีโอกาสถูกจับได้เท่าๆ กันซึ่งลดลงเรื่อยๆ
13. เป่า ยิง ฉุบ
แนวคิด:ผลลัพธ์ที่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากัน เหตุการณ์อิสระระดับชั้น ป.5-ม.8ในการเล่นแบบสุ่ม การโยนแต่ละครั้งมีโอกาสหนึ่งในสาม และแต่ละรอบเป็นอิสระต่อกัน: ชัยชนะเมื่อวานไม่ได้บ่งบอกอะไรเกี่ยวกับชัยชนะในวันนี้ นอกจากนี้ยังเป็นก้าวแรกสู่ทฤษฎีเกม: มีกลยุทธ์ใดที่จะชนะคู่ต่อสู้แบบสุ่มอย่างแท้จริงหรือไม่? วัตถุประสงค์: เพื่อให้เข้าใจถึงผลลัพธ์ที่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากันและเป็นอิสระต่อกัน
นำเสนอสไลด์เหล่านี้แบบสดๆ ผ่าน AhaSlides
สองส่วนของกิจกรรมเหล่านี้ค่อนข้างยุ่งยากหากทำด้วยมือ ได้แก่ การสร้างความสุ่มที่เป็นธรรม และการรวบรวมผลลัพธ์ของทุกคนให้เร็วพอที่จะอภิปรายกันได้ AhaSlides จัดการทั้งสองส่วนนี้ได้จากด้านหน้าห้อง
- วงล้อปั่น การสุ่มจับฉลากจะทำโดยการเลือกนักเรียน หมายเลข หรือสี ดังนั้นการจับฉลากจึงสามารถมองเห็นได้โดยทั้งชั้นเรียนและพิสูจน์ได้ว่าไม่มีการโกง
- โพลสด รวบรวมข้อมูลการทดลองได้ในไม่กี่วินาที นักเรียนทุกคนส่งผลการนับหัวหรือผลรวมของลูกเต๋า แผนภูมิแท่งจะสร้างขึ้นแบบเรียลไทม์ และทั้งชั้นเรียนจะเปรียบเทียบผลการทดลองกับผลการทำนายทางทฤษฎีได้ทันที
- สไลด์แบบทดสอบ เปลี่ยนแนวคิดเหล่านั้นให้เป็นรอบการแข่งขันที่มีคะแนน เช่น “ความน่าจะเป็นของการทอยลูกเต๋าได้เลข 7 คือเท่าไร?” โดยมีกระดานคะแนนที่จะช่วยให้การถกเถียงเรื่องความยุติธรรมหรือค่าที่คาดหวังยังคงดำเนินต่อไปอย่างมีชีวิตชีวา
เนื่องจากระบบจะบันทึกและแสดงคำตอบโดยอัตโนมัติ คุณจึงใช้เวลาในบทเรียนไปกับการอธิบายเหตุผลมากกว่าการนับจำนวน และข้อมูลรวมของทั้งชั้นเรียนนี่เองที่ทำให้กฎของจำนวนมากได้ผลอย่างแท้จริง
นำมาฝากกันค่ะ
การสอนเรื่องความน่าจะเป็นจะง่ายที่สุดเมื่อนักเรียนได้เห็นกระบวนการเกิดขึ้นจริง เลือกเกมเหล่านี้สักสองหรือสามเกมสำหรับบทเรียน: เกมทดลองเพื่อวอร์มอัพหนึ่งเกม เกมปริศนาที่ท้าทายสัญชาตญาณหนึ่งเกม และเกมที่คุ้นเคยอีกหนึ่งเกมที่อธิบายหลักการทางคณิตศาสตร์ใหม่ ระบุแนวคิดทุกครั้ง เก็บข้อมูลจริง และปล่อยให้ช่องว่างระหว่างทฤษฎีและการทดลองเป็นตัวช่วยในการสอน
อ้างอิง
Freeman, S., Eddy, SL, McDonough, M., Smith, MK, Okoroafor, N., Jordt, H., & Wenderoth, MP (2014). การเรียนรู้เชิงรุกช่วยเพิ่มผลการเรียนของนักเรียนในสาขาวิทยาศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ และคณิตศาสตร์ Proceedings of the National Academy of Sciences, 111(23), 8410-8415. https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1319030111
