Киньте кубик, підкиньте монету, покрутіть колесо, і станеться щось корисне: абстрактна ідея, така як «один із шести», перетворюється на щось, що студенти можуть побачити, обговорити та виміряти. Ось чому ймовірність є одним із найдружніших куточків математичної програми для практичного навчання. Студенти в класах, побудованих навколо активних завдань, перевершують своїх однолітків, які відвідують лише лекції, і один аналіз 225 досліджень показав, що студенти, які відвідують традиційні лекції, у 1.5 раза частіше зазнають невдачі, ніж ті, хто відвідує класи з активним навчанням (Freeman et al., 2014).
Наведені нижче ігри – це перелік ігор для вечора в казино, переписаний для класу. У кожній з них названо концепцію ймовірності, яку вона викладає, навчальну мету, приблизну оцінку та як її застосувати на уроці. Ніхто не ставить гроші. Винагорода – розуміння.
Концепції ймовірності, яких навчають ці ігри
Перед іграми ось карта. Більшість вторинних стандартів ймовірності зводяться до кількох важливих ідей:
- Зразок простору: перераховуючи всі можливі результати.
- Теоретична та експериментальна ймовірність: що має статися на папері, а що станеться, коли ви спробуєте.
- Незалежні та залежні події: чи один результат змінює шанси на наступний.
- Очікуване значення: середній результат багатьох випробувань та основа розумного рішення.
- Справедливість, комбінації та перестановки: чи кожен результат є однаково ймовірним, і як порахувати способи, якими може відбутися подія.
Кожна гра позначена ідеєю, на яку вона спрямована, тож ви можете вставити її у потрібний урок.
Розминкові експерименти: теоретична та експериментальна ймовірність
1. Підкидання монети
Концепція: теоретична та експериментальна ймовірність, закон великих чисел. 5-8 класи. Кожен учень підкидає монету 20 разів і записує, скільки випало орла. Окремі результати неоднозначні: один учень отримує 13 орлів, інший - 7. Потім об'єднується загальний результат за весь клас. Коли кількість підкидань зростає до сотень, загальна частка орлів наближається до 50%. Мета: учні бачать, що невелика вибірка може виглядати однобокою, тоді як довгостроковий показник відповідає теоретичній ймовірності.
2. Розкриття суми двох кубиків
Поняття: вибірковий простір, розподіл ймовірностей. 6-9 класи. Запитайте, яка сума найімовірніша при киданні двох кубиків: 2, 7 чи 12. Більшість учнів вгадують неправильно. Нехай вони кинуть два кубики 30 разів, підрахують суми, а потім побудують класну стовпчасту діаграму. Сім виграє, тому що має шість способів виникнення (1+6, 2+5, 3+4 та їх зворотні) з 36 результатів, тоді як 2 та 12 мають лише по одному. Мета: пов'язати перелічений вибірковий простір з реальним розподілом.
3. Розділіть бали: рожевий колір вдвічі ймовірніший
Поняття: дроби та відсотки, частини цілого. 4-5 класи. У цьому віці учні тільки починають розуміти, що 100 представляє ціле (100%), і вивчають основні дроби, тому робіть висновок простим і з низькими ставками. Сформулюйте правило простою мовою, наприклад, «Рожевий колір повинен бути вдвічі імовірнішим за зелений, а помаранчевий та чорний повинні мати рівні шанси», і нехай кожен учень розділить 100 балів між чотирма кольорами так, щоб його поділ задовольняв це правило. Нічого не оцінюється, і немає єдиної правильної відповіді, тому учні можуть вільно експериментувати, а не завмирати через неправильну здогадку. Мета: перетворити абстрактне співвідношення на конкретний відсоток від цілого та перевірити міркування, перевіривши, чи справді поділ кожного учня дорівнює 100 і відповідає зазначеному співвідношенню.
Слайд «Поділ балів» від AhaSlides дозволяє вчителю налаштувати чотири категорії та пул із 100 балів; кожен учень подає свій власний поділ, а результати відображаються в режимі реального часу у вигляді кругової діаграми, щоб клас міг одразу порівняти поділ згідно з встановленим правилом та обговорити, хто був найближчим до результату і чому.
4. Обертайте колесо: справедливо проти несправедливо
Концепція: справедливі та несправедливі результати, дроби та співвідношення. 4-7 класи. Почніть з колеса, розділеного на секції однакового кольору, потім перейдіть до такого, де один колір займає половину. Учні передбачають, обертають багато разів та порівнюють. Мета: виразити ймовірність як частку від цілого та відчути різницю між спінером з рівними шансами та зваженим спінером.
Візьміть безкоштовний шаблон колеса ймовірностей , щоб запустити саме цю гру, вчитель проти класу, з уже вбудованими коефіцієнтами в кожному раунді.
5. Розіграші карт: з заміною та без неї
Концепція: незалежні та залежні події, умовна ймовірність. 8-10 класи. Візьміть карту, запишіть її та запитайте про ймовірність випадіння туза під час наступного розіграшу. Зробіть це двічі: один раз повернувши карту назад, один раз залишивши її. Зі заміною шанси залишаються 4/52 щоразу (незалежно). Без неї колода зменшується, а шанси зміщуються (залежно). Швидкий раунд гри Uno підтверджує ту саму думку: як тільки карти залишають стопку, змінюється те, що залишається для розіграшу. Мета: розрізняти незалежні та залежні події.
Головоломки ймовірностей, що викликають дискусію
6. Проблема Монті Холла
Концепція: умовна ймовірність. 9-12 класи. Троє дверей, один приз. Учень вибирає одні двері, ви показуєте програшні двері з двох інших, а потім пропонуєте їм обміняти їх. Чи варто їм їх прийняти? Переміна виграє два рази з трьох, у що майже ніхто не вірить, доки клас не змоделює це 30 разів і не врахує. Мета: показати, що нова інформація оновлює ймовірність, і що інтуїція може вводити в оману.
7. Жадібна Свиня
Концепція: математичне очікування, прийняття рішень з урахуванням ризику. 6-9 класи. Весь клас стоїть. Ви кидаєте один кубик, і всі накопичують очки, але якщо випаде 1, кожен, хто ще стоїть, втрачає свої очки на раунд. Гравці сідають, коли хочуть зберегти те, що мають. Математика: ще один кидок вартий того, поки ваш незбережений рахунок не перевищить приблизно 20, де очікуваний приріст стане негативним. Мета: використовувати математичне очікування для прийняття реального рішення.
8. Чи є ця гра чесною?
Поняття: справедливість, порівняння ймовірностей. 7–10 класи. Дайте парам правило, таке як «Гравець А заробляє очко, якщо сума двох кубиків парна, гравець Б — непарна» або «А виграє, якщо добуток більше 12». Учні грають, підозрюють дисбаланс, а потім доводять це за допомогою вибірки. Мета: оцінити справедливість на основі доказів, а не інтуїції, а потім переробити правило несправедливості, щоб збалансувати його.
9. Парадокс дня народження
Концепція: додаткова ймовірність, комбінації. 9-12 класи. Запитайте, скільки людей вам потрібно, перш ніж двоє учнів поділять день народження, що є більш імовірним, ніж ні. Відповідь 23 вражає більшість класів. Потім перевірте свій клас: з 30 учнями ймовірність становить близько 70%. Хитрощі полягають у тому, щоб порахувати, чим відрізняються дні народження, та відняти від 1. Мета: використовувати додатковий лічбу, щоб отримати несподіваний результат.
Класичні ігри, перечитані як уроки ймовірності
10. Яхтзі
Концепція: комбінації, ймовірність певних результатів. 6-9 класи. Окрім розваги, Yahtzee — це двигун ймовірностей. Яка ймовірність випадіння трійці на першому кидку? Чи повинен гравець залишити собі дві пари чи гнатися за стрітом? Мета: оцінити шанси цільових результатів та використовувати їх для прийняття рішень.
11. Монополія, ймовірнісний варіант
Концепція: прикладні розподіли. 7-10 класи. Оскільки ви рухаєтесь за сумою двох кубиків, деякі клітинки випадають набагато частіше, ніж інші, а вихід з в'язниці приваблює учасників до помаранчевих та червоних клітинок. Нехай учні передбачають гарячі клітинки, а потім підраховують випадіння протягом гри. Мета: застосувати розподіл двох кубиків до знайомої дошки.
12. бінго
Концепція: випадкові витягування без заміни, співвідношення. 4-7 класи. Оскільки числа витягуються, але не повертаються, ймовірність того, що наступний дзвінок допоможе вашій карті, змінюється щоразу. Попросіть учнів оцінити свої шанси на випадіння лінії до та після того, як випадуть 10 чисел. Мета: міркувати про зменшення кількості однаково ймовірних витягів.
13. Камінь-ножиці-папір
Концепція: рівноймовірні результати, незалежні події. 5-8 класи. У випадковій грі кожен кидок має шанс один до трьох, а раунди незалежні: вчорашня перемога нічого не говорить про сьогоднішню. Це також м'які двері в теорію ігор: чи існує виграшна стратегія проти справді випадкового суперника? Мета: розпізнати рівноймовірні, незалежні результати.
Запустіть їх у прямому ефірі за допомогою AhaSlides
Дві частини цих завдань виконуються вручну досить складно: генерування справедливої випадковості та об'єднання результатів усіх достатньо швидко для їх обговорення. AhaSlides обробляє обидва завдання з передньої частини кімнати.
- Спинне колесо проводить випадкові жеребкування, вибираючи учня, число або колір, щоб обертання було видно всьому класу та доведено не було підтасованим.
- Опитування в прямому ефірі збирайте експериментальні дані за лічені секунди. Кожен студент підраховує кількість голів або підкидає кубики, стовпчаста діаграма будується в режимі реального часу, і клас порівнює експериментальний результат з теоретичним прогнозом на місці.
- Слайди вікторини перетворити концепції в раунд підрахунку балів, наприклад, «Яка ймовірність випадіння 7?», з таблицею лідерів, яка підтримує жваві дебати щодо справедливості або очікуваного значення.
Оскільки відповіді фіксуються та записуються в таблиці автоматично, ви присвячуєте урок міркуванню, а не підрахунку, і саме об’єднані дані класу роблять закон великих чисел дійсним.
Об'єднання
Найлегше викладати теорію ймовірностей, коли учні можуть спостерігати за її проявами. Виберіть дві або три такі гри для кожного розділу: один розминковий експеримент, одну головоломку, яка порушує інтуїцію, і одну знайому гру з повторним перечитуванням математичних розрахунків. Називайте концепцію щоразу, збирайте реальні дані та нехай розрив між теорією та експериментом займається навчанням.
Посилання
Фрімен, С., Едді, С.Л., Макдоноу, М., Сміт, М.К., Окороафор, Н., Джордт, Х. та Вендерот, М.П. (2014). Активне навчання підвищує успішність учнів у науці, інженерії та математиці. Праці Національної академії наук, 111(23), 8410-8415. https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1319030111
