擲骰子、拋硬幣、轉動輪盤，就能產生一些有用的結果：像「六分之一」這樣的抽象概念變成了學生可以觀察、討論和測量的事物。正因如此，機率論是數學課程中最適合實踐教學的領域之一。圍繞實踐任務設計的課堂上的學生表現優於只聽講授的學生。一項針對225項研究的分析發現，傳統講授式課堂的學生不及格的可能性是實踐學習課堂學生的1.5倍（Freeman et al., 2014）。
以下遊戲清單改編自賭場之夜遊戲，專為課堂教學而設計。每個遊戲都包含所教的機率概念、學習目標、大致的評分範圍以及如何在課堂上進行教學。遊戲中不涉及真錢投注，玩家的收穫是理解。
這些遊戲所教的機率概念
遊戲開始前，先來看看這張地圖。大多數中學機率論標準都可以歸結為幾個核心概念：
- 樣本空間： 列出所有可能的結果。
- 理論機率與實驗機率： 紙面上應該發生的情況與實際操作中發生的情況之間的差異。
- 獨立事件與相關事件： 一個結果是否會影響下一個結果的機率。
- 預期值： 多次試驗的平均結果，也是做出明智決策的基礎。
- 公平性、組合與排列： 每種結果發生的可能性是否相等，以及如何計算事件發生的方式。
每個遊戲都標有它所針對的概念，因此您可以將其放入正確的課程中。
熱身實驗：理論機率與實驗機率
1. 拋硬幣堆疊
概念：理論機率與實驗機率，大數定律。適用於5-8年級學生。每位學生拋擲硬幣20次，並記錄正面朝上的次數。個人結果各不相同：一個學生拋出13次正面朝上，另一個學生拋出7次。然後將全班的總次數加總。隨著拋擲次數增加到數百次，正面朝上的總比例也逐漸穩定在50%左右。目標：學生理解小樣本的結果可能看起來不平衡，但長期來看，總體機率與理論機率相符。
2. 雙骰子點數總和攤牌
概念：樣本空間，機率分佈。6-9年級。詢問學生擲兩顆骰子，哪一顆骰子點數總和最有可能出現：2、7 或 12。大多數學生猜錯了。讓他們擲兩顆骰子 30 次，統計點數總和，然後製作全班長條圖。結果顯示，7 最有可能出現，因為在 36 種結果中，它有 6 種可能出現（1+6、2+5、3+4 及其反轉），而 2 和 12 各只有一種可能出現。目標：將列出的樣本空間與實際分佈連結起來。
3. 平分分數：粉紅色出現的可能性是白色出現的兩倍
概念：分數和百分比，整體的一部分。適用於四至五年級學生。在這個年齡段，學生剛開始理解100代表整體（100%），並且正在學習基本的分數概念，因此要保持教學內容簡短易懂，並且降低難度。提出一個簡單易懂的規則，例如“粉紅色出現的機率應該是綠色的兩倍，橙色和黑色出現的機率應該相等”，然後讓每個學生將100分分配到四種顏色上，直到他們的分配結果符合這個規則。本次教學不計分，也沒有唯一的正確答案，因此學生可以自由嘗試，而不會因為猜錯而感到困惑。目標：將抽象的比例轉化為整體的具體百分比，並透過檢查每個學生的分配結果是否等於100以及是否符合既定的關係來檢驗他們的推理能力。
AhaSlides 的「分配分數」幻燈片允許教師設置四個類別和一個 100 分的獎池；每個學生提交自己的分數分配，結果會實時以餅圖的形式顯示，這樣全班同學就可以立即將分數分配與規定的規則進行比較，並討論誰最接近以及原因。
4. 轉動輪盤：公平 vs 不公平
概念：公平與不公平的結果、分數和比率。適用於4-7年級。首先使用一個被分成等分彩色區域的轉盤，然後換成一個單一顏色佔據一半區域的轉盤。學生進行預測，多次轉動轉盤，並進行比較。目標：將機率表示為整體的分數，並感受等機率轉盤和加權轉盤之間的差異。
取得免費的機率轉盤模板，即可運行此遊戲（教師對學生），每輪遊戲的賠率均已內建。
5. 抽牌：有放回和無放回。
概念：獨立事件與相關事件，條件機率。8-10年級。抽一張牌，記下牌面，然後問下次抽牌抽到A的機率。重複兩次：一次放回牌堆，一次不放回。放回牌堆後，每次抽到A的機率都是4/52（獨立事件）。不放回牌堆後，牌堆裡的牌會減少，機率也會改變（相關事件）。玩一局UNO牌也能說明同樣的問題：一旦牌被放回牌堆，剩餘的牌就會改變。目標：區分獨立事件和相關事件。
引發討論的機率謎題
6. 蒙提霍爾問題
概念：條件機率。適用於9-12年級。三扇門，一個獎品。學生選了一扇門，你揭曉另外兩扇門中沒有獎品的那扇，然後提出換門。學生該換嗎？換門有三次機會贏兩次，幾乎沒人相信，直到全班模擬30次並統計結果。目標：證明新資訊會更新機率，且直覺可能會誤導。
7. 貪婪的豬
概念：期望值，風險決策。適用於6-9年級。全班站立。擲一顆骰子，每個人的分數累積；如果擲出1點，則所有站立的學生本輪得分全部清零。玩家想要保留已有分數時可以坐下。數學原理：在未保留分數超過20分之前，再擲一次骰子是值得的；超過20分後，期望收益變成負值。目標：運用期望值來指導實際決策。
8. 這個遊戲公平嗎？
概念：公平性，機率比較。適用於7-10年級學生。給每組玩家一條規則，例如「如果兩個骰子的點數總和為偶數，則玩家A得分；如果為奇數，則玩家B得分」或「如果點數總和大於12，則玩家A獲勝」。學生進行遊戲，懷疑規則有不公平之處，然後用樣本空間證明這一點。目標：透過證據而非直覺來判斷公平性，然後重新設計不公平的規則以使其平衡。
9. 生日悖論
概念：互補機率、組合。適用於9-12年級。問問大家，需要多少人才能讓兩個人同一天生日的機率大於不同人同一天生日的機率？答案是23人，這讓大多數班級都感到震驚。然後看看你自己的班級：30個學生中，兩人同一天生日的機率約為70%。訣竅在於計算生日所有可能的不同組合，然後用1減去這些組合。目標：運用互補計數法得出令人驚訝的結果。
經典遊戲，重新解讀為機率論課程
10. 快艇
概念：組合，特定結果的機率。適合6-9年級學生。除了趣味性之外，Yahtzee 也是一個機率引擎。第一次擲骰子擲出三個相同點數的機率是多少？玩家應該保留兩對點數還是追求順子？目標：估算目標結果的機率並利用這些機率做出選擇。
11. 大富翁，機率版
概念：應用分佈。適用於7-10年級。由於棋盤上的移動取決於兩個骰子點數之和，因此某些方格的出現頻率遠高於其他方格，而且從監獄出來會吸引更多人流湧向橙色和紅色區域。請學生預測哪些方格是熱門區域，然後在遊戲中統計落腳次數。目標：將雙骰分佈應用於熟悉的棋盤。
12。 賓果
概念：無放回隨機抽取，比率。適用於 4-7 年級。由於抽取的數字不放回，下次抽取到你卡片上的數字的機率每次都會改變。請學生在抽取 10 個數字前後分別估計他們抽到一行數字的機率。目標：推理等機率抽取樣本池逐漸縮小的情況。
13. 石頭剪刀布
概念：等機率結果，獨立事件。適用於5-8年級。在隨機賽局中，每次投擲的機率均為三分之一，每輪賽局相互獨立：昨天的勝利與今天的勝利無關。這也為賽局理論提供了一個入門途徑：是否存在對抗完全隨機對手的勝利策略？目標：辨識等機率且獨立的事件。
使用 AhaSlides 即時運行這些幻燈片
這些活動中有兩個部分手動操作起來比較繁瑣：產生公平的隨機數，以及快速匯總所有人的結果以便進行討論。 AhaSlides 可以從教室前方輕鬆處理這兩個部分。
- 轉輪 進行隨機抽籤，挑選一名學生、一個數字或一種顏色，因此每次抽籤對全班同學都是可見的，並且可以證明抽籤過程沒有作弊。
- 現場投票 幾秒鐘內即可收集實驗數據。每位學生提交正面朝上的次數或骰子點數總和，長條圖即時生成，全班同學當場將實驗結果與理論預測進行比較。
- 測驗投影片 將這些概念轉化為計分回合，例如“擲出 7 的機率是多少？”，並設定排行榜，使公平性或期望值的辯論保持活躍。
由於答案會自動記錄和繪製圖表，所以你可以把時間花在推理上，而不是統計上，而匯總的班級數據正是大數定律得以實現的關鍵。
將其整合在一起
機率論最容易教的方式就是讓學生親眼觀察它的發展過程。每個單元可以選擇兩到三個這樣的遊戲：一個暖身實驗，一個打破直覺的謎題，以及一個熟悉的、可以複習數學知識的遊戲。每次都要明確指出概念，收集真實數據，讓理論與實驗之間的差距起到教學作用。
參考
Freeman, S., Eddy, SL, McDonough, M., Smith, MK, Okoroafor, N., Jordt, H., & Wenderoth, MP (2014). 主動學習提升學生在科學、工程和數學方面的表現。 《美國國家科學院院刊》，111(23), 8410-8415。 https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1319030111
