प्रायिकता संबंधी खेलों के उदाहरण: छात्रों को वास्तविक गणित सिखाने के लिए 13 कक्षा गतिविधियाँ

पासा फेंकें, सिक्का उछालें, पहिया घुमाएँ, और कुछ न कुछ उपयोगी परिणाम निकलता है: "छह में से एक" जैसा अमूर्त विचार ऐसी चीज़ में बदल जाता है जिसे छात्र देख सकते हैं, उस पर बहस कर सकते हैं और माप सकते हैं। यही कारण है कि प्रायिकता गणित पाठ्यक्रम का वह हिस्सा है जो व्यावहारिक शिक्षण के लिए सबसे उपयुक्त है। सक्रिय कार्यों पर आधारित कक्षाओं में छात्र केवल व्याख्यान वाली कक्षाओं के छात्रों से बेहतर प्रदर्शन करते हैं, और 225 अध्ययनों के एक विश्लेषण में पाया गया कि पारंपरिक व्याख्यानों में भाग लेने वाले छात्रों के असफल होने की संभावना सक्रिय शिक्षण कक्षाओं में भाग लेने वाले छात्रों की तुलना में 1.5 गुना अधिक थी (फ्रीमैन एट अल., 2014)।

नीचे दिए गए खेल कैसीनो नाइट की सूची को कक्षा के लिए संशोधित रूप में प्रस्तुत करते हैं। प्रत्येक खेल में संभाव्यता की अवधारणा, सीखने का उद्देश्य, एक अनुमानित ग्रेड समूह और पाठ में इसे कैसे शामिल किया जाए, इसका विवरण दिया गया है। इसमें कोई पैसा दांव पर नहीं लगाता। इसका परिणाम केवल समझ है।

इन खेलों के माध्यम से सिखाई जाने वाली प्रायिकता की अवधारणाएँ

खेलों से पहले, यह रहा नक्शा। अधिकांश द्वितीयक संभाव्यता मानक कुछ प्रमुख विचारों पर आधारित होते हैं:

• नमूना अंतरिक्ष: सभी संभावित परिणामों को सूचीबद्ध करना।
• सैद्धांतिक बनाम प्रायोगिक प्रायिकता: कागज़ पर जो होना चाहिए और जब आप उसे करके देखते हैं तो असल में क्या होता है।
• स्वतंत्र बनाम आश्रित घटनाएँ: क्या एक परिणाम अगले परिणाम की संभावनाओं को बदल देता है?
• अपेक्षित मान: अनेक परीक्षणों का औसत परिणाम, और एक समझदारीपूर्ण निर्णय का आधार।
• निष्पक्षता, संयोजन और क्रमचय: क्या प्रत्येक परिणाम की संभावना समान है, और किसी घटना के घटित होने के तरीकों की गणना कैसे की जाए।

प्रत्येक गेम को उस विचार के साथ टैग किया गया है जिसे वह लक्षित करता है, ताकि आप इसे सही पाठ में शामिल कर सकें।

प्रारंभिक प्रयोग: सैद्धांतिक बनाम प्रायोगिक प्रायिकता

1. सिक्का उछालकर ढेर लगाना

अवधारणा: सैद्धांतिक बनाम प्रायोगिक प्रायिकता, वृहद संख्याओं का नियम। कक्षा 5-8। प्रत्येक छात्र 20 बार सिक्का उछालता है और सभी शीर्षों को दर्ज करता है। व्यक्तिगत रूप से परिणाम अनियमित हैं: एक छात्र को 13 शीर्ष मिलते हैं, दूसरे को 7। फिर पूरी कक्षा के कुल परिणामों को एक साथ मिलाया जाता है। जैसे-जैसे उछालों की संख्या सैकड़ों तक पहुँचती है, शीर्षों का संयुक्त हिस्सा लगभग 50% के करीब स्थिर हो जाता है। उद्देश्य: छात्र यह देखते हैं कि एक छोटा नमूना असंतुलित दिख सकता है जबकि दीर्घकालिक दर सैद्धांतिक प्रायिकता से मेल खाती है।

2. दो पासों के योग का मुकाबला

अवधारणा: नमूना स्थान, प्रायिकता वितरण। कक्षा 6-9। छात्रों से पूछें कि दो पासे फेंकने पर कौन सा योग सबसे अधिक संभावित है: 2, 7 या 12। अधिकांश छात्र गलत अनुमान लगाते हैं। उन्हें 30 बार पासे फेंकने को कहें, योगों को गिनें और फिर एक बार चार्ट बनाएं। 7 इसलिए सबसे अच्छा है क्योंकि 36 परिणामों में से इसके छह संभावित परिणाम हैं (1+6, 2+5, 3+4 और उनके विपरीत), जबकि 2 और 12 के केवल एक-एक संभावित परिणाम हैं। उद्देश्य: सूचीबद्ध नमूना स्थान को वास्तविक वितरण से जोड़ना।

3. अंकों को विभाजित करें: गुलाबी रंग की संभावना दोगुनी है

अवधारणा: भिन्न और प्रतिशत, किसी वस्तु के भाग। कक्षा 4-5। इस आयु में, छात्र यह समझना शुरू कर रहे हैं कि 100 एक पूर्ण (100%) का प्रतिनिधित्व करता है और वे बुनियादी भिन्न सीख रहे हैं, इसलिए प्रश्न को सरल और सहज रखें। एक सरल भाषा में नियम बताएं, जैसे "गुलाबी रंग की संभावना हरे रंग की तुलना में दोगुनी होनी चाहिए, और नारंगी और काले रंग की संभावना बराबर होनी चाहिए," और प्रत्येक छात्र को 100 अंकों को चारों रंगों में इस प्रकार विभाजित करने के लिए कहें कि उनका विभाजन नियम को पूरा करे। कोई अंक नहीं दिए जाएंगे और कोई एक सही उत्तर नहीं है, इसलिए छात्र गलत अनुमान लगाने के डर से घबराए बिना स्वतंत्र रूप से प्रयोग कर सकते हैं। उद्देश्य: एक अमूर्त अनुपात को किसी वस्तु के ठोस प्रतिशत में बदलना और यह देखकर तर्क की जांच करना कि क्या प्रत्येक छात्र का विभाजन वास्तव में 100 के बराबर है और दिए गए संबंध से मेल खाता है।

AhaSlides की 'स्प्लिट द पॉइंट्स' स्लाइड शिक्षक को चार श्रेणियां और 100 अंकों का एक पूल सेट करने की सुविधा देती है; प्रत्येक छात्र अपना-अपना अंक विभाजन प्रस्तुत करता है, और परिणाम पाई चार्ट के रूप में लाइव बनते हैं, जिससे कक्षा तुरंत निर्धारित नियम के अनुसार अंक विभाजन की तुलना कर सकती है और इस बारे में चर्चा कर सकती है कि कौन सबसे करीब पहुंचा और क्यों।

4. पहिया घुमाएँ: उचित बनाम अनुचित

अवधारणा: उचित बनाम अनुचित परिणाम, भिन्न और अनुपात। कक्षा 4-7। शुरुआत में एक पहिया लें जिसे बराबर रंगीन भागों में बांटा गया हो, फिर एक ऐसे पहिये पर स्विच करें जिसमें एक ही रंग आधे भाग में हो। छात्र अनुमान लगाते हैं, कई बार घुमाते हैं और तुलना करते हैं। उद्देश्य: प्रायिकता को संपूर्ण के एक भिन्न के रूप में व्यक्त करना और समान संभावना वाले और भारित स्पिनर के बीच अंतर को समझना।

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5. कार्ड निकालना: प्रतिस्थापन के साथ और बिना प्रतिस्थापन के

अवधारणा: स्वतंत्र बनाम आश्रित घटनाएँ, सशर्त प्रायिकता। कक्षा 8-10। एक कार्ड निकालें, उसे नोट करें और अगली बार कार्ड निकालने पर इक्का आने की संभावना पूछें। इसे दो बार करें: एक बार कार्ड को वापस रखकर, एक बार उसे बाहर ही रहने दें। कार्ड वापस रखने पर संभावना हर बार 4/52 ही रहती है (स्वतंत्र)। कार्ड वापस रखे बिना, कार्डों का ढेर छोटा हो जाता है और संभावना बदल जाती है (आश्रित)। ऊनो का एक छोटा सा खेल भी यही बात समझाता है: एक बार कार्ड ढेर से हट जाने पर, निकालने के लिए बचे कार्डों की संख्या बदल जाती है। उद्देश्य: स्वतंत्र और आश्रित घटनाओं में अंतर करना।

संभावना संबंधी पहेलियाँ जो चर्चा को जन्म देती हैं

6. मोंटी हॉल की समस्या

अवधारणा: सशर्त प्रायिकता। कक्षा 9-12। तीन दरवाजे, एक इनाम। एक छात्र एक दरवाजा चुनता है, आप बाकी दो दरवाजों में से हारने वाला दरवाजा दिखाते हैं, फिर उसे बदलने का विकल्प देते हैं। क्या उन्हें बदलना चाहिए? तीन में से दो बार बदलने पर जीत मिलती है, जिस पर लगभग कोई विश्वास नहीं करता जब तक कि कक्षा इसे 30 बार करके गिनती नहीं कर लेती। उद्देश्य: यह दिखाना कि नई जानकारी प्रायिकता को बदल देती है, और यह कि सहज ज्ञान भ्रामक हो सकता है।

7. लालची सुअर

अवधारणा: अपेक्षित मूल्य, जोखिम के तहत निर्णय लेना। कक्षा 6-9। पूरी कक्षा खड़ी हो जाती है। आप एक पासा फेंकते हैं और सभी को अंक मिलते हैं, लेकिन यदि 1 आता है तो जो भी खड़ा रहता है उसके उस दौर के अंक कट जाते हैं। खिलाड़ी अपने अंक जमा करने के लिए बैठ जाते हैं। गणितीय नियम: एक और पासा फेंकना तब तक फायदेमंद है जब तक आपका जमा न किया गया स्कोर लगभग 20 से अधिक न हो जाए, जिसके बाद अपेक्षित लाभ ऋणात्मक हो जाता है। उद्देश्य: वास्तविक निर्णय लेने में मार्गदर्शन के लिए अपेक्षित मूल्य का उपयोग करना।

8. क्या यह खेल निष्पक्ष है?

अवधारणा: निष्पक्षता, संभावनाओं की तुलना। कक्षा 7-10। जोड़ियों को एक नियम दें, जैसे "खिलाड़ी A को अंक मिलेंगे यदि दोनों पासों का योग सम हो, खिलाड़ी B को यदि विषम हो," या "A तब जीतेगा जब गुणनफल 12 से अधिक हो।" छात्र खेलेंगे, असंतुलन का संदेह करेंगे, और फिर नमूना क्षेत्र के साथ इसे सिद्ध करेंगे। उद्देश्य: निष्पक्षता का मूल्यांकन साक्ष्य के आधार पर करना, न कि अंतर्ज्ञान के आधार पर, और फिर अनुचित नियम को संतुलित करने के लिए उसे संशोधित करना।

9. जन्मदिन का विरोधाभास

अवधारणा: पूरक प्रायिकता, संयोजन। कक्षा 9-12। यह प्रश्न पूछें कि दो छात्रों का जन्मदिन एक ही दिन होने की संभावना कितने छात्रों में होती है। उत्तर, 23, अधिकांश कक्षाओं को चौंका देता है। फिर अपनी कक्षा में ही जाँच करें: 30 छात्रों के साथ यह संभावना लगभग 70% है। इसका हल यह है कि जन्मदिनों के अलग-अलग होने के तरीकों की गणना करें और उसमें से 1 घटाएँ। उद्देश्य: पूरक गणना विधि का उपयोग करके एक आश्चर्यजनक परिणाम प्राप्त करना।

क्लासिक खेल, जिन्हें संभाव्यता के पाठ के रूप में पुनः पढ़ा जा सकता है।

10. याहत्ज़ी

अवधारणा: संयोजन, विशिष्ट परिणामों की प्रायिकता। कक्षा 6-9। मनोरंजन के अलावा, याहत्ज़ी एक प्रायिकता विश्लेषण है। पहली बार फेंकने पर तीन एक जैसे पत्ते आने की क्या संभावना है? क्या खिलाड़ी को दो जोड़े रखने चाहिए या सीधा पत्ता बनाने की कोशिश करनी चाहिए? उद्देश्य: लक्षित परिणामों की प्रायिकता का अनुमान लगाना और उनका उपयोग निर्णय लेने में करना।

11. मोनोपोली, संभाव्यता संस्करण

अवधारणा: अनुप्रयुक्त वितरण। कक्षा 7-10। क्योंकि आप दो पासों के योग के आधार पर आगे बढ़ते हैं, कुछ खाने दूसरों की तुलना में कहीं अधिक बार आते हैं, और जेल से बाहर आने पर नारंगी और लाल खानों की ओर रुझान बढ़ जाता है। छात्रों से अधिक बार आने वाले खानों का अनुमान लगाने को कहें, फिर एक खेल के दौरान आने वाले खानों की गिनती करें। उद्देश्य: दो पासों के वितरण को एक परिचित बोर्ड पर लागू करना।

12। बिंगो

अवधारणा: बिना प्रतिस्थापन के यादृच्छिक रूप से संख्याएँ निकालना, अनुपात। कक्षा 4-7। जैसे-जैसे संख्याएँ निकाली जाती हैं और वापस नहीं की जातीं, हर बार अगली संख्या से आपके कार्ड में सुधार होने की संभावना बदलती रहती है। छात्रों से 10 संख्याएँ निकाले जाने से पहले और बाद में एक पंक्ति बनने की संभावना का अनुमान लगाने के लिए कहें। उद्देश्य: समान रूप से संभावित संख्याओं के घटते समूह के बारे में तर्क करना।

13. रॉक-पेपर-कैंची

अवधारणा: समान रूप से संभावित परिणाम, स्वतंत्र घटनाएँ। कक्षा 5-8। यादृच्छिक खेल में प्रत्येक थ्रो की संभावना एक तिहाई होती है, और राउंड स्वतंत्र होते हैं: कल की जीत आज की जीत के बारे में कुछ नहीं कहती। यह खेल सिद्धांत में प्रवेश करने का एक सरल तरीका भी है: क्या पूरी तरह से यादृच्छिक प्रतिद्वंद्वी के खिलाफ जीतने की कोई रणनीति है? उद्देश्य: समान रूप से संभावित, स्वतंत्र परिणामों को पहचानना।

AhaSlides के साथ इन्हें लाइव चलाएं

इन गतिविधियों के दो भाग मैन्युअल रूप से करने में मुश्किल होते हैं: निष्पक्ष यादृच्छिकता उत्पन्न करना और चर्चा के लिए सभी के परिणामों को शीघ्रता से एकत्रित करना। AhaSlides इन दोनों कार्यों को कमरे के सामने से ही संभाल लेता है।

1. स्पिनर व्हील क्या यादृच्छिक रूप से किसी छात्र, संख्या या रंग का चयन करके लॉटरी निकाली जाती है, ताकि पूरी कक्षा को परिणाम दिखाई दे और यह साबित हो सके कि इसमें कोई धांधली नहीं हुई है?
2. चुनाव जीते प्रयोग का डेटा कुछ ही सेकंडों में एकत्र करें। प्रत्येक छात्र अंकों की संख्या या पासे का योग प्रस्तुत करता है, बार चार्ट तुरंत तैयार हो जाता है, और कक्षा मौके पर ही प्रायोगिक परिणाम की तुलना सैद्धांतिक अनुमान से करती है।
3. प्रश्नोत्तरी स्लाइड अवधारणाओं को एक स्कोर किए गए दौर में बदलें, जैसे कि "7 आने की संभावना क्या है?", जिसमें एक लीडरबोर्ड हो जो निष्पक्षता या अपेक्षित-मूल्य पर बहस को जीवंत बनाए रखे।

क्योंकि प्रतिक्रियाएं स्वचालित रूप से दर्ज और चार्ट की जाती हैं, इसलिए आप पाठ को गणना करने के बजाय तर्क पर केंद्रित करते हैं, और एकत्रित कक्षा डेटा ही वह चीज है जो बड़े नंबरों के नियम को प्रभावी ढंग से लागू करती है।

इसे एक साथ लाना

प्रायिकता को पढ़ाना तब सबसे आसान होता है जब छात्र इसे होते हुए देख सकें। एक यूनिट के लिए इनमें से दो या तीन खेल चुनें: एक अभ्यास प्रयोग, एक पहेली जो सहज ज्ञान को चुनौती दे, और एक परिचित खेल जिसमें गणितीय अवधारणाओं को फिर से पढ़ना शामिल हो। हर बार अवधारणा का नाम लें, वास्तविक डेटा एकत्र करें, और सिद्धांत और प्रयोग के बीच के अंतर को ही शिक्षण का माध्यम बनने दें।

संदर्भ

फ्रीमैन, एस., एडी, एस.एल., मैकडोनो, एम., स्मिथ, एम.के., ओकोरोआफोर, एन., जॉर्ड्ट, एच., और वेंडरॉथ, एम.पी. (2014)। सक्रिय शिक्षण विज्ञान, इंजीनियरिंग और गणित में छात्रों के प्रदर्शन को बढ़ाता है। नेशनल एकेडमी ऑफ साइंसेज की कार्यवाही, 111(23), 8410-8415। https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1319030111