Hoďte kockou, mincou, roztočte kolesom a stane sa niečo užitočné: abstraktná myšlienka ako „jeden zo šiestich“ sa zmení na niečo, čo môžu študenti vidieť, o čom môžu polemizovať a čo môžu merať. Preto je pravdepodobnosť jedným z najpríjemnejších kútov matematických osnov pre praktické vyučovanie. Študenti v triedach postavených na aktívnych úlohách dosahujú lepšie výsledky ako ich rovesníci, ktorí študujú iba na prednáškach, a jedna analýza 225 štúdií zistila, že študenti na tradičných prednáškach mali 1.5-krát vyššiu pravdepodobnosť zlyhania ako tí v triedach s aktívnym učením (Freeman a kol., 2014).
Nižšie uvedený zoznam hier pre kasínové večery prepísaný pre triedu. Každá z nich uvádza koncept pravdepodobnosti, ktorý vyučuje, cieľ učenia, približné hodnotenie a ako ho použiť na hodine. Nikto nestaví peniaze. Výhodou je pochopenie.
Pravdepodobnostné koncepty, ktoré tieto hry učia
Pred hrami je tu mapa. Väčšina štandardov sekundárnej pravdepodobnosti sa redukuje na niekoľko dôležitých myšlienok:
- Vzorový priestor: vymenovanie všetkých možných výsledkov.
- Teoretická vs. experimentálna pravdepodobnosť: čo by sa malo stať na papieri verzus to, čo sa stane, keď to vyskúšate.
- Nezávislé vs. závislé udalosti: či jeden výsledok zmení pravdepodobnosť ďalšieho.
- Očakávaná hodnota: priemerný výsledok z mnohých pokusov a základ inteligentného rozhodnutia.
- Spravodlivosť, kombinácie a permutácie: či je každý výsledok rovnako pravdepodobný a ako spočítať spôsoby, akými môže udalosť nastať.
Každá hra je označená myšlienkou, na ktorú sa zameriava, takže ju môžete zaradiť do správnej hodiny.
Zahrievacie experimenty: teoretická vs. experimentálna pravdepodobnosť
1. Hromadný hod mincou
Koncept: teoretická vs. experimentálna pravdepodobnosť, zákon veľkých čísel. Ročníky 5-8. Každý študent hodí mincou 20-krát a zaznamená si, koľko hláv padne. Jednotlivé výsledky sú chaotické: jeden študent dostane 13 hláv, iný 7. Potom sa spočítajú všetky čísla triedy. Ako počet hodov stúpa na stovky, celkový podiel hláv sa ustáli na takmer 50 %. Cieľ: študenti vidia, že malá vzorka môže vyzerať nevyvážene, zatiaľ čo dlhodobá miera zodpovedá teoretickej pravdepodobnosti.
2. Súčet dvoch kociek
Koncept: výberový priestor, rozdelenie pravdepodobnosti. Ročníky 6-9. Opýtajte sa, ktorý súčet je najpravdepodobnejší pri hode dvoma kockami: 2, 7 alebo 12. Väčšina študentov uhádne nesprávne. Nechajte ich hodiť dvoma kockami 30-krát, spočítajte súčty a potom zostrojte stĺpcový graf triedy. Sedem vyhráva, pretože má šesť spôsobov, ako sa vyskytnúť (1+6, 2+5, 3+4 a ich opačné možnosti) z 36 výsledkov, zatiaľ čo 2 a 12 majú iba jeden. Cieľ: prepojiť uvedený výberový priestor so skutočným rozdelením.
3. Rozdeľte body: ružová je dvakrát pravdepodobnejšia
Koncept: zlomky a percentá, časti celku. 4. – 5. ročník. V tomto veku žiaci začínajú chápať, že 100 predstavuje celok (100 %) a učia sa základné zlomky, preto sa držte stručnosti, jednoduchosti a nízkeho rizika. Stanovte pravidlo v jednoduchom jazyku, napríklad „Ružová by mala mať dvakrát vyššiu pravdepodobnosť ako zelená a oranžová a čierna by mali mať rovnakú šancu“ a nechajte každého žiaka rozdeliť 100 bodov medzi štyri farby tak, aby jeho rozdelenie spĺňalo toto pravidlo. Nič sa neboduje a neexistuje jedna správna odpoveď, takže žiaci môžu voľne experimentovať namiesto toho, aby zamrzli kvôli nesprávnemu hádaniu. Cieľ: premeniť abstraktný pomer na konkrétne percento celku a skontrolovať zdôvodnenie tým, že sa zistí, či rozdelenie každého žiaka skutočne dáva 100 a zodpovedá uvedenému vzťahu.
Snímka AhaSlides s názvom Rozdelenie bodov umožňuje učiteľovi nastaviť štyri kategórie a 100-bodový fond; každý študent odošle svoje vlastné rozdelenie a výsledky sa zobrazia naživo ako koláčový graf, takže trieda môže okamžite porovnať rozdelenia podľa stanoveného pravidla a prediskutovať, kto sa k nemu priblížil a prečo.
4. Roztočte koleso: spravodlivé vs. nespravodlivé
Koncept: spravodlivé vs. nespravodlivé výsledky, zlomky a pomery. Ročníky 4-7. Začnite s kolesom rozdeleným na rovnako farebné časti, potom prejdite na také, kde jedna farba zaberá polovicu. Žiaci predpovedajú, točia mnohokrát a porovnávajú. Cieľ: vyjadriť pravdepodobnosť ako zlomok celku a pocítiť rozdiel medzi rotáciou s rovnakou pravdepodobnosťou a váženou rotáciou.
Získajte bezplatnú šablónu kolesa pravdepodobnosti a spustite túto presnú hru, učiteľ verzus trieda, s kurzami už zabudovanými v každom kole.
5. Ťahanie kariet: s náhradou a bez nej
Koncept: nezávislé vs. závislé udalosti, podmienená pravdepodobnosť. Ročníky 8-10. Ťahnite kartu, poznačte si ju a spýtajte sa na pravdepodobnosť esa pri ďalšom ťahaní. Urobte to dvakrát: raz kartu vymeňte, raz ju nechajte vonku. Pri výmene zostáva pravdepodobnosť zakaždým 4/52 (nezávislosť). Bez nej sa balíček zmenší a pravdepodobnosť sa zmení (závislosť). Rýchle kolo hry Uno poukazuje na to isté: akonáhle karty opustia kôpku, zmení sa to, čo zostane na ťahanie. Cieľ: rozlíšiť nezávislé a závislé udalosti.
Pravdepodobnostné hádanky, ktoré vyvolávajú diskusiu
6. Problém Montyho Halla
Koncept: podmienená pravdepodobnosť. Ročníky 9-12. Troje dvere, jedna cena. Žiak si vyberie jedny dvere, vy odhalíte prehrávajúce dvere z ostatných dvoch a potom ponúknete výmenu. Mali by si ju vybrať? Výmena vyhráva dvakrát z troch prípadov, čomu takmer nikto neverí, kým to trieda 30-krát nenasimuluje a nezapočíta sa. Cieľ: ukázať, že nové informácie aktualizujú pravdepodobnosť a že intuícia môže byť klamlivá.
7. Chamtivé prasa
Koncept: očakávaná hodnota, rozhodovanie s rizikom. Ročníky 6-9. Celá trieda stojí. Hodíte jednou kockou a všetci nazbierajú skóre, ale hodíte 1 a každý, kto ešte stojí, stratí body za kolo. Hráči si sadnú, keď si chcú uložiť, čo majú. Matematika: ešte jeden hod sa oplatí, kým vaše neuložené skóre nepresiahne približne 20, kde sa očakávaný zisk zmení na záporný. Cieľ: použiť očakávanú hodnotu na usmernenie skutočného rozhodnutia.
8. Je táto hra férová?
Koncept: spravodlivosť, porovnávanie pravdepodobností. Ročníky 7 – 10. Dajte dvojiciam pravidlo, napríklad „Hráč A skóruje, ak je súčet dvoch kociek párny, hráč B, ak je nepárny“ alebo „A vyhráva so súčinom väčším ako 12“. Žiaci hrajú, majú podozrenie na nerovnováhu a potom ju dokážu pomocou vzorového priestoru. Cieľ: posúdiť spravodlivosť na základe dôkazov, nie intuície, a potom prepracovať pravidlo nespravodlivosti tak, aby to vyvážilo.
9. Paradox narodenín
Koncept: komplementárna pravdepodobnosť, kombinácie. Ročníky 9-12. Opýtajte sa, koľko ľudí potrebujete, kým sa narodeniny nezmenia, je pravdepodobnejšie, že sa narodia dvaja. Odpoveď 23 ohromí väčšinu tried. Potom sa pozrite do svojej vlastnej triedy: s 30 študentmi je pravdepodobnosť približne 70 %. Trik spočíva v spočítaní rozdielov medzi narodeninami a odčítaní od 1. Cieľ: pomocou komplementárneho počítania dosiahnete prekvapivý výsledok.
Klasické hry, znovu prečítané ako lekcie pravdepodobnosti
10. Yahtzee
Koncept: kombinácie, pravdepodobnosť konkrétnych výsledkov. Ročníky 6-9. Okrem zábavy je Yahtzee aj pravdepodobnostným nástrojom. Aká je šanca, že pri prvom hode padnú tri rovnaké karty? Mal by si hráč ponechať dva páry alebo sa snažiť o postupku? Cieľ: odhadnúť pravdepodobnosť cieľových výsledkov a použiť ich na rozhodovanie.
11. Monopol, pravdepodobnostná verzia
Koncept: aplikované rozdelenie hodov. Ročníky 7-10. Pretože sa hýbete na základe súčtu hodov dvoch kociek, niektoré políčka padnú oveľa častejšie ako iné a návrat z väzenia pritiahne premávku smerom k oranžovým a červeným políčkam. Nechajte študentov predpovedať horúce políčka a potom spočítajte hody v priebehu hry. Cieľ: aplikovať rozdelenie hodov dvoma kockami na známu hraciu dosku.
12. bingo
Koncept: náhodné žrebovania bez nahrádzania, pomery. Ročníky 4-7. Keďže čísla sú žrebované a nevraciané, šanca, že ďalšie volanie pomôže vašej karte, sa zakaždým mení. Požiadajte študentov, aby odhadli svoju pravdepodobnosť línie pred a po tom, čo vypadne 10 čísel. Cieľ: uvažovať o zmenšujúcom sa počte rovnako pravdepodobných žrebovaní.
13. Kameň, papier, nožnice
Koncept: rovnako pravdepodobné výsledky, nezávislé udalosti. Ročníky 5-8. Pri náhodnej hre má každý hod šancu jedna k trom a kolá sú nezávislé: včerajšia výhra nehovorí nič o dnešnej. Je to tiež jemná bránka do teórie hier: existuje víťazná stratégia proti skutočne náhodnému súperovi? Cieľ: rozpoznať rovnako pravdepodobné, nezávislé výsledky.
Spustite ich naživo s AhaSlides
Dve časti týchto aktivít sa vykonávajú ručne zložito: generovanie spravodlivej náhodnosti a dostatočne rýchle zhromažďovanie výsledkov všetkých na to, aby sa o nich dalo diskutovať. AhaSlides sa o obe zaoberá z prednej časti miestnosti.
- Kolovrat vykonáva náhodné žrebovania, vyberá študenta, číslo alebo farbu tak, aby rotácia bola viditeľná pre celú triedu a preukázateľne nezmanipulovaná.
- Ankety naživo zhromaždite experimentálne údaje v priebehu niekoľkých sekúnd. Každý študent odošle počet hláv alebo súčet hodov kockami, stĺpcový graf sa vytvorí naživo a trieda okamžite porovná experimentálny výsledok s teoretickou predpoveďou.
- Snímky kvízu premeňte koncepty na kolo s bodovaním, napríklad „Aká je pravdepodobnosť hodu 7?“, s rebríčkom, ktorý udržiava živú debatu o spravodlivosti alebo očakávanej hodnote.
Keďže odpovede sa zaznamenávajú a zapisujú automaticky, hodinu strávite uvažovaním, a nie sčítavaním, a práve združené údaje z triedy sú to, čo robí zákon veľkých čísel skutočne platným.
Spájame to
Pravdepodobnosť sa najľahšie učí, keď ju študenti môžu sledovať. Vyberte si pre jednu lekciu dve alebo tri z týchto hier: jeden rozcvičovací experiment, jednu hádanku, ktorá prelomí intuíciu, a jednu známu hru na opätovné prečítanie si matematických úloh. Zakaždým pomenujte daný koncept, zbierajte skutočné údaje a nechajte medzeru medzi teóriou a experimentom, aby sa učila.
Referencie
Freeman, S., Eddy, SL, McDonough, M., Smith, MK, Okoroafor, N., Jordt, H. a Wenderoth, MP (2014). Aktívne učenie zvyšuje výkon študentov vo vede, inžinierstve a matematike. Proceedings of the National Academy of Sciences, 111(23), 8410-8415. https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1319030111
